内积：那个莫名其妙的 cos#

首先说说内积吧。这个大多数人都知道，也叫数量积，和大多数人一样，我也是在初高中就有学过，但是对于这里面那个莫名其妙出现的 cos，其实是一直有疑惑的。之前初高中问老师，得到的答复是”就是书上的一个结论，记住就行了”，最多再给我补充一点大学要学的向量积吧（其实说实话这个我最先接触还是在之前高一暑假，去补课提前学高二课程时候接触的，也就是高中的几何板块，当时其实不知道这玩意叫做向量积），但是实话实说当时向量积里面的 sin 也是一样让我困惑的。

矩阵与线性泛函#

其次是矩阵和线性泛函。矩阵这个概念是我在大学上了线代之后才系统性接触到的（其实高中我搞数学竞赛有见过，也就是圆锥曲线中变换坐标系求解一些难题，但是当时我不知道这玩意的本质是矩阵）。问题是老师上课也只教计算过程，并没有教这玩意到底是个什么作用，于是我就只有在课下自己研究。在看 3B1B 的视频途中又顺便接触了线性泛函（对这部分感兴趣的可以去看看我的第一篇文章：从代数到几何，一条完整的逻辑链），往后自己又接触了一点点泛函分析和 Hilbert 空间，当然那就是另外一个故事了，相关内容参见上篇文章。

慢慢系统性过了一遍线性代数后，这时候差不多就是我的大一寒假了。寒假自己又系统性自学了抽象代数，深入学了一部分泛函分析，但是对于矩阵、内积、线性泛函这三个我心里一直很有疑问：一方面自己确实对这三个的关系捋不清楚，另一方面对应内积外积这两的 cos 和 sin 由来自己也很是好奇（尽管当时自己已经知道是引入内积才能在向量空间中引入角度和范数这个结论，但是对于内积到底怎么发现的仍然一头雾水）。

转机：四元数#

转机是自己实在是受不了了去 QQ 的数学群问网上的各位大佬（什么？你问我现在 AI 发展这么快为什么不用 AI？啊这个啊，要是某些情况下问 AI 有用我也不至于去 QQ 问了，问题是我问 AI 这个怎么来的也只会给我一堆所谓的代数证明，丝毫起不到一丁点作用，我也不知道是不是我提问方式不对，总之就是没有解决问题）。

在我问内积怎么来的之后，大佬成功给了我一个重要的数学概念——四元数。起初我只是搜了一下这玩意和内积的关系，并成功了解到这玩意和外积也有关系，并没有意识到这玩意在现代工程领域的巨大作用，至于我现在为什么知道那就是另外一个故事了，不过当时确实是不知道的。

然后，在了解了四元数之后，借助自己已有的线性代数和抽象代数的基础，我又开始思考这玩意和线性泛函、矩阵到底有什么关系。通过自己的总结提炼和在 QQ 群向其他人的相关提问，以下是我自己对这三者关系的理解，要是有细节不严谨或者有误，也欢迎各位大佬提出指正！

总结：三者关系#

首先，从历史来说，人们很早就意识到向量物理意义的存在，也知道垂直向量的存在，只是一直没有一个有效方法去进行表示。后来有了笛卡尔坐标系，人们开始利用几何解决代数问题，但是对于 X²+1=0 不好处理，于是人为引入虚数，有了复平面。然后人们发现通过虚数 i 可以表示空间中的旋转和缩放，但是仍然没有办法表示垂直，于是尝试升高维度进行处理，于是乎有了四元数的诞生——对这部分感兴趣的可以去看看数学史，我自己反正觉得蛮有趣的。

人们惊奇的发现通过四元数可以表示空间中的垂直向量，并且也自然而然引入了内积，来表示角度和范数，后来经过提炼，内积外积由此诞生。到这里就出现了线性代数的雏形，并且不断发展，有了矩阵得以变换空间；后面从有限维进入无限维空间后，人们又发现了线性泛函的存在，并发现从代数层面来讲，这个概念和内积在以抽象代数为层次的本质上是完全等价的——只是线性泛函是代数过程，而内积则是几何表示。

总结概括为：

线性泛函和内积本质上都是抽象代数中”线性”在代数和几何层面的不同体现，两者本质相同，但是互不影响，可以脱离对方独自存在。不过正因为本质相同，在向量空间中便可以利用内积的几何性来辅助理解线性泛函的整体变换过程；至于矩阵，则是通过引入内积自然有了空间的变换，加速了后期线性泛函和泛函分析的相关研究。

当然以上也只是自己作为一名普通大一牲，业余对数学的一些思考与感悟。虽然自己不是数学专业的，思考这些对于自己的应试也并没有什么帮助，但是对于我来说至少是一个兴趣和思维构建的过程。后期深入学习其他数理和计算机板块后会考虑出一些其他文章，有对相关内容感兴趣的欢迎大家在评论区进行留言。最后欢迎各位大佬对本文中的不足之处进行批评指正！也欢迎各位大佬提出建议，帮助本人进行后续改进！

原文发布于知乎（2026-03-23），收录于《桂电密码学本科生的数学学习笔记》系列，作者：亦梦。