亦梦

桂电准大二的密码学学习思考：关于密码学底层概念，计算安全与伪随机性

Sun, 26 Jul 2026 00:00:00 GMT

桂电准大二的密码学学习思考：关于密码学底层概念，计算安全与伪随机性#

计算安全（Computational Security）与伪随机性（Pseudorandomness）——Katz 书里最核心的两个底层概念，这篇是我的理解版本。

大家好，我目前在桂电就读，马上升大二。前段时间经过期末周后，自己回家稍微调整了一下状态，最近正继续阅读 Katz 老师的《密码学原理与协议》这本书，里面有讲到密码学几个底层核心概念，包括但不限于计算安全（Computational Security）与伪随机性（Pseudorandomness）。结合概念的相关 definition，自己有了一些自我理解，想要分享一下。

为什么底层概念不放在第一章#

其实，这本书开篇并不是讲的上述这些概念。相反，关于伪随机数的概念是放在的第三章才正式引入，而第一章 Introduction and Classical Ciphers 是简单引入，第二章 Perfectly-Secret Encryption 讲的是理论上的完美安全。

那为什么底层概念不放在第一章直接开讲？因为数学上的可证明安全性，和实际情况下的安全性，是两码事。伪随机数，严格来说是有了计算机科学需求才引入的概念，本身在 cs 领域是没有的——这一点接下来会讲。

完美保密：Perfectly-Secret Encryption#

（在这里我只是简要概括核心，最准确的定义建议回归原文查看）在密码学里面，对于一个特定的加密算法，也就是单向函数来说，是输入对应输出，而输入的就是明文 + 密钥（为什么不是一个明文就可以，具体原因参考香农定理）。

理论上，在加密数据过程中，明文密钥长度一样才可以保证绝对安全。但是实际情况下，密钥长度过长，计算复杂度会急剧上升，这就导致：如果想要对 1G 明文加密，实际情况下用 1G 的密钥纯属扯淡。（举个可能不太合适的例子：假如甲乙两地相距只有 50km，你坐车过去不好，非要坐飞机——举这个是因为实在想不出合适的 qwq）

计算安全：Computational Security#

那么这个时候可能就有人要问了：既然你实际情况下密钥不能过长，如何保证安全？这就要扯到计算安全了，全称 Computational Security。

此时如果我们不去限制黑客算力，给足足够长的时间，理论上暴力穷举是肯定可以攻破的。但是问题在于实际情况下，限制黑客算力为多项式时间——那么只需要黑客在 PPT，也就是多项式时间内，不能做到攻破得到明文，那么我们就说此时是计算安全的（PPT 的准确定义建议回归上述教科书自行查看）。

伪随机性：PRG 与语义安全#

但是此时还是有一个问题：在理论数学层面，根据香农定理，一个绝对安全的算法，其对应密钥在理论层面一定是完全随机的，只有这样才能确保黑客在多项式时间内无法攻破。但是实际情况下，我们不妨想想：这里这个密钥真的可以做到完全随机吗？

答案肯定是否定的。此时我们就必须引入伪随机数了。实际上，一个极短的、真正的随机种子 seed，理论上通过伪随机数生成器，也就是 PRG（全称 Pseudorandom generators），可以生成对应的伪随机数序列：输入空间大小是 2 的 n 次方，输出空间大小是 2 的 ℓ(n) 次方。

但是聪明的你用一点点统计学的知识就会知道：因为 ℓ(n) > n，所以这意味着 PRG 只能生成所有可能的字符串中的很小一部分——理论上数量很多，但是实际情况下大部分伪随机数都是不会出现的，也就是在实际情况下的数量其实是小于理论数量的（具体证明过程详见教科书）。

那怎么办嘞？这个时候聪明的你又想到了一个办法：把 n 取到一个合适的程度不就行了？使得最终生成的伪随机序列和真正的随机序列不可分。这里教材的严格定义是：

语义安全定义：攻击者通过密文猜出明文任意一位比特的优势可以忽略不计，仅比随机猜测的概率 1/2 高可以忽略的程度。也就是，给攻击者提供伪随机序列和真正的随机序列，只要猜中伪随机数的概率只比 1/2 高一点点就可以了。

具体地，在教材里面还有一个不可区分性实验：也就是加密方案在唯密文攻击下具有安全性，即密文不会泄露任何有关明文的信息，也就是无法区分密文（具体的严格定义见教材原文）。

其实，在我看来，此处的核心思想内容其实和上述语义安全有异曲同工之妙。

总之，以上只是我个人关于一些底层概念的自我思考，内容难免有不严谨或者细节有误的地方，也诚恳地欢迎各位老师进行指点！

原文发布于知乎（2026-07-26），收录于《桂电密码学本科生的密码学学习笔记》系列，作者：亦梦。

桂电密码学大一 | 入学一年来的心路历程 | 繁星与新生

Sun, 12 Jul 2026 00:00:00 GMT

桂电密码学大一 | 入学一年来的心路历程 | 繁星与新生#

大家好，我是一名普普通通的桂电大一新生，密码学专业的。本来按照之前的节奏，这期是一次平平无奇的学习分享的，但是奈何前面一个月一直在备战期末，加上自己这段时间状态一直不是很好，就没有学什么新的内容。加上马上大一也要结束了，这期算是自己给大一生活的一次小小总结吧。

大一上：半迷茫与图书馆#

对于我自己而言，作为一名从西南 F4 考来桂电的学生，到现在仔细想想，我发现我的大一生活其实并没有我想象中的那么精彩。在大一上，其实更多是处于一种半迷茫的状态，加上之前高中的压力和自我焦虑并没有完全消退，而是成功延续到了大学，并且在大一上学期尤为明显，这就导致我在很长一段时间，一直是以一种压抑自己的方式来度过的。

大学初期刚刚入学时候，我啥也不懂，也没有一个合理的方向，浑浑噩噩地跟着社团招新的学长学姐一起打 CTF（虽然后来事实证明我并不很擅长打这个玩意），加上没有加入社团或者实验室，每到周末我就一直泡图书馆。在大一中期尤为明显，每次都是学到了很晚才回宿舍，并且还会向 AI 寻求帮助，给自己做规划。（可能你会问我为什么不打游戏，其实也不是不打，只是打的很少，加上高中那种压力在大学的延续，导致我通常很难从打游戏中获得快感）

其实当时我很清楚：因为自己很迷茫，而密码学又很杂，我不知道要走哪个方向，所以只能靠疯狂的学习来消磨时间，同时给自己一点心理安慰。

但是凡是有弊必有利。在初期图书馆学习线代过程中，我反复刷了好几遍 3B1B 的视频，为后续其他板块学习打下了坚实基础。在这个过程中自然而然接触了线性泛函，以此了解到了泛函分析和谱定理，加上后来在网上和其他朋友的交流，自然而然补习了实变函数。

寒假与下：从抽象代数到几何#

到后来大一寒假时期，在导师建议下，我入门了抽象代数，同时在大一下开学时候，接触了包括但不限于四元数与李群李代数。从四元数为支点，我入门了麦克斯韦方程组；同时上网了解到麦克斯韦方程组和李群李代数的一点联系，我又入门了几何板块，了解了微分几何的一些知识，研究这个学科主体框架又花了我三周多的时间。老实说其实几何学在密码学这一块，重要性不如代数和分析，可我只是单纯对基础数学感兴趣而已。

其实你可能好奇我为什么对数学这么痴迷，难道是只是因为我的专业？说实话，我既没有数学家的天赋，也不指望未来的我可以做到推动人类基础数学进步这种事，但是初高中以来自己唯一也是一直很感兴趣的科目就是数学。这种兴趣和成绩无关——我高三时候数学也曾不及格过，但是并不影响我对基础数学兴趣所在，而这种兴致也很自然的延续到了大学，也算是推动我学习的动力源之一。

孤独感与输出#

老实说，其实单纯论学习的话，我完全可以自己学，但是在大一下我发现，随着学习越来越深入，在计算机、特别是密码学这个领域，校内能跟我有类似话题的少之又少，那种越来越强的孤独感，一度把我压的喘不过气。于是我在想：能不能向外进行知识输出，哪怕只是以个人的形式……

于是……

在 3 月 4 日，借助 AI，我搭建了自己的第一个网站……
在 3 月 7 日，我写下了自己的第一篇文章，同步发在知乎和微信……
在 5 月 24 日，我在 B 站第一次发布了自己的专业介绍视频，截止目前引来了超过 40 多个评论……

未来，还会有更多产出……

这真的是我想要的吗？#

但是，我有时候也会想：自己会不会真的过于功利性了。从大一上进社团，大一下进实验室，有了自己的工位和项目，在尽量保证学分绩的同时，课外研究基础数学，并不断进行自媒体输出……

这真的是我想要的吗？？？

让我现在来回答，我回答不出来。老实说现在的我，依然会焦虑、迷茫。我依然记得，在大一上的夜晚，我多达七次的情绪崩溃；大一下，有时候晚上在 B 站听着歌，眼泪就会不自主的往下流。现在的我，压力依然会很大，甚至在前不久凌晨一点跟朋友聊天时候，他说：

我觉得人生不应该是一场强化学习，但是，至少前 12 年，我们都是这么过来的。

那一瞬间，我甚至不知道该如何回复。

是啊，就算是在桂电，我们外省这些高考分数稍微高一点考进来的人，也不得不和从前一样去面对应试评价体系：从进社团、学生会、实验室，到做项目、竞赛实习，最后还要在双非去争那一两个保研名额，或者顶着四电四邮之一的名号，和 92 的进行竞争。大学四年下来，这真的是我们想要的吗？

我不知道这个答案。

发出去的声音，一定会传来回响#

但是，现在的我至少明白：发出去的声音，一定会传来回响，也许回响会迟到，但是绝对不会缺席。

当我大一第一次写文章被评论时，我知道，我发出去的声音可以被听到；
当第一次在微信有本校数学系的老师专门为我留言，给予我鼓励时，我知道，我的努力没有白费；
当在知乎有密码学业内的前辈为我答疑解惑时，我知道，在密码学这条路上，不光有基础数学的难，还有人性的温暖；
当在 B 站第一次看到有高考完的学子向我请教时，我也知道，我所做的一切，都作数……

我知道我没有多少粉丝，也没有什么流量可言，但是我知道，我发出去的东西，可以被其他人看到，这就足够了。

也许，现在的我，还是会焦虑、迷茫、不知所措，有时也会猜猜自己未来会去向何方，或是会遇到怎样的另一半。我也很清楚，在密码学这片繁星之下，小小的我其实很微不足道——我没有能力改变世界，只能尽力不让世界改变自己。但是，随着自己不断对抗生活的熵增，我能看到的，便不止有就业的艰难、AI 的崛起、挣钱的不易，还有生活中的小确幸，业内人的指导，学校里面老师的鼓励，和学弟学妹了解到密码学后屏幕前的笑容。

可能现在的我，才真正开始慢慢了解我想成为的那个自己，到底是个什么样的人。

但愿三年后的我，可以真正成为我想成为的那个自己，真正获得新生。

文章最后，用鸣潮《远航星的告别》里面一句歌词结尾吧：

Those who trace starlight on their lonely roads, Will find their destinations in the cosmos.

终

原文发布于知乎（2026-07-12），收录于「杂谈」系列，作者：亦梦。

桂电大一的数学学习思考：从抽象代数（李群，李代数）到微分几何（流形，联络，曲率）

Wed, 03 Jun 2026 00:00:00 GMT

桂电大一的数学学习思考：从抽象代数（李群，李代数）到微分几何（流形，联络，曲率）#

流形本来和代数半毛钱关系没有——是”联络 + 内积”人为引入了代数结构，然后发现它和李群李代数等价。这篇是这条逻辑链的完整闭环。

我是一名桂电大一新生，现就读于密码学专业，平时课余时间喜欢钻研基础数学，正好前段时间一直在结合抽象代数钻研基础数学的微分几何这块，有了一些自己的感悟，因此想要分享一下。

其实，按照我自己的正常节奏，本来我一直是在研究抽象代数和分析学，特别是泛函分析这一块。但是前段时间研究李群和李代数的时候，碰巧接触了联络、曲率、纤维丛、协变导数之类的，所以顺便入门了一下（其实应该是三周多前就开始了解了，但是对于现在的我来说，由于这块内容确实过于硬核，所以研究的比较慢，加上临近期末周了，所以整体更新速度变慢了很多）。

流形：一个纯几何概念#

首先，先说明一点：流形本身作为一个几何概念，最开始和代数这块是没有半毛钱关系的，是后来人们想要研究流形的某些性质，才引入的代数结构，也就是李群李代数这种。本文想要探究的也就是这种关系。但是严格来说，流形本身的性质和有没有代数结构无关——就算是没有代数结构，本身的很多拓扑性质依然成立，可以用分析学的视角去进行解构，比如外微分（当然分析学这块，目前不在本篇文章讨论范围内）。

从初高中学习的解析几何为一个桥梁，我们初步建立了对几何学的基本认知，但是到了大学的三维甚至更高维的空间中，我们要研究的就从简单的几何体变成了流形，其实也是一个空间。举个例子：尽管地球表面是一个三维空间的曲面，但在局部范围内，地球表面看起来是平坦的——这意味着在小的区域内，近似是一个二维的流形，这种拓扑性质不受参考系改变的影响（比如要研究一个乒乓球的几何性质，你把它放在三维空间进行研究，然后换到四维空间，它的性质会变化吗？肯定不会。说白了就是流形几何性质只和自己本身有关，和外部所处空间没有半毛钱关系）。接下来在这个前提下，就可以讨论其他东西了。

联络：人为引入的运算工具#

也许你会问：那流形和代数到底有什么关系？问到点子上了，我也想过这个问题，别慌，我们一步一步来。流形本身拓扑形式和外部参照系无关这是事实，加上最开始流形是没有代数结构的（看定义也可以知道），如果我们想要研究相关性质的话，就得人为引入代数结构。

这里就必须得先引入一个几何概念——也就是所谓的联络，简单理解就是定义如何在流形上的纤维丛做运算的工具（简单解释一下：流形上每一个点有一个自己的切平面，比如地球上不同点可以定义无数个切平面，但是这些平面之间本来是没有关系的。如果我们想要研究平面之间的关系，就要引入联络，也就是一个平面到平面的运算规则。至于如何行使这个规则，具体要用到协变导数，作用类比三维空间中的偏导和偏导数，但是比这个复杂；而纤维丛就是研究流形以及之上的点附着的空间这件事本身的）。解释的这串话信息量比较大，初学者可以多想想。

联络 + 内积：让运算唯一化#

也许你会问：那有了联络是不是就是有了代数结构了？额其实说法也没问题，但是问题出在什么地方呢？联络这个概念是我们人为定义的——也就是说，对于任何一个流形而言，我们完全可以定义不同的联络，都可以用来研究拓扑性质，结果按理来说都是一样的（因为拓扑性质只会由流形本身决定）。

但不同联络在运算过程中某些东西可能会发生改变（比如你要把一个向量平行移动到另外的切空间，向量移动前后的长度可能是会改变的，这在传统欧几里得空间中不可能发生，但是这里确实可能存在）。为了避免这种情况，我们就要给联络引入额外的限制条件，也就是内积。引入内积后的联络就变得唯一了，且可以完美进行代数运算。

与李群的同构#

到这一步，我们才真正可以把几何与代数建立联系。人为定义的联络 + 内积带来的结果是：流形本身有了代数结构，而且这个结构和李群是完全同构的！加上本身李群性质特殊，有线性同构的前提，使得单位元处的李代数的拓扑性质可以延伸到整个李群。换句话说，我们可以借助李群来研究流形了！

纤维丛：群结构的两码事#

到这一步，你可能又会有新的疑问：那你研究的是流形，和其上的纤维丛有什么关系？（此处纤维丛不懂的可以先看看前文，或者直接去看定义）其实这个问题这两天也困扰了我很久，因为正常来说国内教材不会注重讲这些内容，而在代数层面的运算这又肯定是成立的。

直到今天我去看纤维丛的定义才弄明白：因为纤维丛本身是几何概念，而看定义会发现这玩意其实是有群结构的！换句话说，因为纤维丛研究对象的原因，所以我们研究纤维丛的时候，其实就是在研究流形本身！

但这里有一个很大的误区：纤维丛本身的群结构和李群与李代数的群结构是两码事！（这一点我直到今天才明白，很容易弄混淆）但是在实际研究微分几何的时候，貌似很少会提及这个区别。

用李群研究纤维丛#

既然我们知道了纤维丛和李群李代数群结构是两码事，而我之前又说可以借助李群来研究流形，这是不是看着有点矛盾？我原来其实也有这样的疑惑，但是后来发现：由于纤维丛之上的运算结构是由联络定义的，而这里联络又刚好和李群等价，所以变相可以用李群来研究纤维丛。

事实上，在联络和内积约束下，这里的纤维丛的群结构和李群李代数几乎是等价的，加上李群李代数的线性同构的性质必然性，所以对于流形上面的切空间而言，我们当然自然而然可以用李群李代数去研究！（PS：单纯只是因为这里等价，所以可以这么干）

曲率：AB 与 BA 的偏差#

到这里我们其实已经基本上明白整体的框架了，但是还有一个概念我始终没有提及，那就是曲率。这到底是个什么玩意？跟上文有什么关系？别慌，咱们慢慢来。

首先，联络是运算规则，而协变导数是执行这个规则的算子，这没问题（类似于外微分，隶属分析学范畴）。但问题是在流形上面：对一个向量执行两次操作 AB 和反过来的 BA，结果是不一样的！也就是不满足交换律。而不同结果产生的偏差是可以计算出来的，这个偏差就被定义为曲率。

那这个偏差和上文有什么关系呢？我们知道：纤维丛上面的运算是和李群李代数等价的，而曲率这个运算结果的对象则是纤维丛上面的向量——也就是说，对向量进行的代数运算，天然可以通过李群李代数进行解释。加上李代数也有自己的代数和几何性质，通过线性同构的特殊性，可以解释整个李群的性质。

所以曲率而言：当变化率为无穷小的时候，运算规则和李代数等价，使得曲率可以近似看成三维旋转，天然的可以落在李代数所长成的单位元处的切空间内！这不仅仅是代数层面的必然性，也是逻辑层面的必然性！

总结：逻辑闭环#

流形作为纯几何概念，最开始和代数半毛钱关系没有；人为的联络 + 内积引入使得可以进行在流形上面的代数运算，而引入的代数运算和李群李代数等价，所以变相可以用李群的代数结构研究流形。

而纤维丛作为流形上面原有的结构，本身和李群李代数关系不大；引入联络 + 内积后，对应的纤维丛的代数和群结构和李群李代数等价，所以可以用李代数的思想研究流形及其切空间。加上线性同构导致的独特性质，使得协变导数和曲率这些在切空间进行的运算，也可以用李代数解释。

所以曲率这里：如果是无穷小旋转的话，其运算结果才会恰好完美落在李代数这个单位元处张成的向量空间之内！至此，逻辑形成完美闭环！

当然，以上只是我个人学习过程中的一些自我思考，难免有细节不严谨的地方，欢迎各位指出（毕竟涉及反对称矩阵啥的代数运算我自己还没有去深究）。后续也计划继续深入学习这块知识，特别是把自己已有的泛函分析基础纳入这个体系中来，事成之后会考虑再出一篇文章；然后转回密码学协议和构造测这块的内容进行相关学习。如果各位老师有相关的建议也欢迎提出，我将万分感激！

原文发布于知乎（2026-06-03），收录于《桂电密码学本科生的数学学习笔记》系列，作者：亦梦。

桂电大一的密码学学习思考：关于密码学在https里面的具体底层应用

Mon, 18 May 2026 00:00:00 GMT

桂电大一的密码学学习思考：关于密码学在https里面的具体底层应用#

对称加密、非对称加密、数字签名、CA 证书、密码协议……密码学概念满天飞，怎么串起来？——HTTPS 就是最好的教科书。

各位老师好，我现在是一名桂电大一新生，25 高考的，就读于密码学专业。前段时间研究 SIS 构造测的时候，入门了单向函数和陷门生成算法，以此牵扯出了 CA 证书和数字签名等等内容。因为这块内容比较系统，我自己就借助了经典的 https 加密进行学习，在此想要分享一下自己的学习经历。

前言：为什么借 HTTPS#

如果是大部分入门密码学的人，看到诸如对称、非对称加密、密钥管理与分发、数字签名、CA 证书、密码协议等等很多概念肯定都会一头雾水。因为密码学是一个高度体系化的领域，往往是好不容易弄清了一个概念，却发现到了实际情况还要去学其他很多概念，并且还非得弄清楚不同概念之间的联系（别问我为什么知道，因为自己其实已经被这个问题困扰很久了，直到最近才勉强理清一点点）。所以此次想要借助 https 辅助一下，看看能不能稍微融会贯通一点。

HTTPS 是什么#

对于 https，各位肯定很熟悉，也就是浏览器里面最前面的那几个字符，最典型的就是 https://www+域名这种。而 https 也就是所谓的密码学协议，全称 Hypertext Transfer Protocol Secure。但是至于这个协议如何起作用的，这里面涉及的东西就比较多了。由于 https 主管通信侧，所以核心问题是如何在互联网这个开放性的虚拟世界里面，建立两个人之间的可信通信信道。以下是具体过程。

第一步：TCP 三次握手#

当我们在浏览器输入并回车后，浏览器会自动把输入解析成对应 ip 地址，也就是对应网页服务器所在的 ip。此时本地设备会先通过庞大的路由节点，与 ip 建立连接，也就是找到对方的位置。这个过程俗称 TCP 三次握手，为的是先确保能够建立通信链路（这个过程和密码学关系其实不大）。

第二步：TLS 身份验证#

建立通信链路之后，要怎么确保对方一定是正确的服务器呢？这就是 TLS 加密的开端，需要用数字签名 + CA 证书 + 哈希函数（通常为 SHA-384）进行操作。

首先，服务器会把自己的公钥、域名等信息，提前拿去给 CA 机构。CA 机构用自己的私钥对这些信息进行签名，生成一个数字证书。所以，服务器的 CA 证书里包含了自己的公钥，以及 CA 对这份公钥的签名。
当本地设备访问网站时，服务器会把自己的 CA 证书发送过来。
本地设备（浏览器或操作系统）内置了信任的 CA 根证书（即 CA 的公钥），它会用 CA 的公钥去解密证书里的数字签名，得到一份消息摘要（Hash 值 1）。同时，本地设备自己也会用同样的哈希函数对证书内容重新计算，得到另一份消息摘要（Hash 值 2）。
如果 Hash 值 1 和 Hash 值 2 完全一致，就说明证书内容没有被篡改，且确实是由那个权威 CA 签发的。
最后，再检查证书里的域名和自己正在访问的域名是否一致，就能确认对方的身份了。

第三步：协商对称密钥#

确认对方身份无误后，接下来要做的就是生成对称密钥了（因为高效传输海量信息一般用对称加密，而对称加密的密钥必须双方共享）。至于如何生成私钥，就是要用非对称加密了：

这里一般是用 ECC，也就是椭圆曲线离散对数困难型问题为基础，用 ECDHE 协议来协商出共享秘密。
具体来说，AES 的会话密钥，是基于这个共享秘密、加上客户端和服务器的随机数，通过 HKDF 等等密钥派生函数进一步生成的。
当然此处私钥都是在本地，用于后续的加密。

到这里 TLS 加密就结束了。

第四步：AES 加密传输#

这个时候已经有了会话密钥了，然后就可以进行加密了。一般来说，明文数据都是在物理设备本地进行相关的加密（也就是在操作系统的 sys 程序里面），然后经过网卡包装，加上设备 ip、mac 等等信息生成数据包，最后通过已经建立好的通道发送出去。而加密的过程就是用对称加密，一般是 AES——安全性高而且效率也高。

一般来说，此时发送出去的数据为密文，就算被劫持也没有大碍，因为第三方既没有你的本地私钥，也没有你的具体加密手段。但是数据到达服务器之后，就会被自动解密成明文，存储在服务器的后端数据库里面——因为之前在本地生成的私钥是本地和服务器共享的，所以说服务器是完全可以解密的。此时想要从 web 的后端数据库获得明文，就是另外一码事了。

此处说个题外话：如果直接 ping 任意网页的话，是直接向对应服务器发送 icmp 数据包，是不涉及 TCP 三次握手和 TLS 加密的。

总之，以上只是我个人关于密码学在 https 当中实际应用的一些思考，内容深度比较浅，同时也难免有细节有误的地方，欢迎各位老师积极进行指正，同时有好的建议也欢迎指出！我将不吝感激！

原文发布于知乎（2026-05-18），收录于《桂电密码学本科生的密码学学习笔记》系列，作者：亦梦。

桂电大一的数学学习分享：由空间解析几何恒等式本质来自SO（3）上的双不变度量延伸的相关代数与几何关系思考

Fri, 08 May 2026 00:00:00 GMT

桂电大一的数学学习分享：由空间解析几何恒等式本质来自SO（3）上的双不变度量延伸的相关代数与几何关系思考#

空间解析几何恒等式本质来自 SO(3) 上的双不变度量——我第一次见到这个结论时，恒等式、SO(3)、度量三样全懵。这篇是把它们逐个拆开的过程。

我现在是一名桂电大一新生，就读于密码学专业，之前通过标题的这个结论入门了物理电磁学方面的高阶思想，前两天心血来潮重新了解了一下，自己有了一些新的感悟，所以想要分享出来（因为自己之前只是通过这个结论间接学习的相关物理知识，对于结论本身并没有深入了解）。

SO(3) 到底是什么#

首先，我相信大多数跟我一样的本科生看到这个结论，第一眼肯定是很懵逼的（恒等式是啥？SO(3) 是啥？度量是啥？）。额好吧其实我当初第一次见到这个结论也很懵，但是碍于种种原因并没有深入了解。不过别急，现在咱们慢慢来（好吧其实到现在自己也挺一知半解的，不过还是想说一下我的理解）。

咱们从一个中心开始，也就是要弄清楚 SO(3) 到底是个什么东西。你上百度搜会发现这玩意叫做旋转群，听起来挺抽象的对吧（如果没有接触过抽象代数的话）。没事咱们从头开始：学过线代的都知道，单纯在向量空间里面论本质，矩阵的作用是对空间进行变换，但是这只是在向量空间里面。那有没有可能，矩阵这玩意也可以是单纯一个元素、而不是来变换空间的呢？

其实是可以的。当我们把矩阵当成元素来看的话，那么一个空间里面所有矩阵组成的集合，就是一个 SO(3)，也就是旋转群（你仔细想想：矩阵这玩意本身就有旋转的作用，也就是说这个集合里面每一个元素都有旋转的作用，再去想想群是什么东西，就比较容易理解了）。

那这个时候就有人要问了：在三维向量空间里面，矩阵不是有 9 个元素吗，那为什么实际上 SO(3) 里面每个元素只有三个量？（不得不说真是好问题，我自己也有过这样的疑问）但是你认真了解就会发现，这三个量不是实数，而是角度。再想想矩阵怎么跟角度扯上关系？那不就是每个矩阵和 XYZ 三个轴的夹角嘛，这样一来是不是解释得通了？

SO(3) 既是群，又是流形#

其次，SO(3) 是旋转群这没问题了，但是问题又来了，且先不说度量的问题，空间解析几何又是如何跟群上面的概念扯上关系的？这不是一个群吗？（哇靠不得不说真是个好问题）咱们还是慢慢来：既然咱们已经把矩阵当成一个元素了，并且是用三个量进行表示，这和什么有点像？但凡学过初中数学都知道，这和向量表示方法完全一致（如果只是论形式的话）。

那么，向量都是对应线性空间里面的元素，那这里矩阵呢？没错，当你把矩阵当成一个点来看，其实 SO(3) 就是对应点所在的空间。换句话说，SO(3) 既是一个旋转群，又是一个几何流形，完全拥有和其他三维空间一样的分析方法。既然是一个几何流形，自然可以用到空间解析几何的相关知识（说到这里，其实我后面想到了物理里面的四维时空流形，和这里概念应该是有联系的，但是现在并没有去深究）。

那么这里，咱们大致应该就有一个想象了：SO(3) 既是一个集合、是旋转群，同时也是一个真实的、但是有一些抽象的几何流形（理论上其实有点抽象不是很好想象，但是理论上完全成立）。同时，按照这条思路延伸出去，会发现其他类似的群环域等等相关的结构，其实最终也可以归结到相关的几何结构——有限维最典型的就是线性空间，无限维就是 Hilbert 空间等等（好吧扯远了）。

双不变度量#

再者，到现在我们终于可以探讨其他两个概念了。第一个就是双不变度量。那你想啊，既然叫度量，按理来说就是测量某些量的（额好吧事实也确实如此啊嘿嘿）。但是你要想：空间里面的元素都是矩阵，要测量也是测量矩阵到矩阵之间点到点的变换啊，这个好理解。那为什么说是”双不变”呢？去查资料会发现这里指既左不变也右不变（好吧确实有一些抽象，根本看不懂一点）。

简单来说，可以想一想：把这个度量当成工具，不管空间中的点如何变化，从一个角度看和从另外的角度看是完全一样的——也就是这个工具（其实准确来说是一个测量规则）对于分析空间中点的变化不依赖于参照系。好比向量空间里面，基向量可以是改变的，但是对于具体向量的相关性质的测量方式永远是不变的。

李代数：单位元处的切空间#

好那么这时候又要牵扯到一个问题了：SO(3) 和双不变度量差不多能理解是个什么关系，那这两玩意在空间解析几何里面，跟恒等式有什么关系？咳咳别急咱们慢慢来。

首先咱们要引入一个概念，也就是李代数。简单来说，就是 SO(3) 这个空间在单位矩阵 I 那一点的切空间（这里必须要解释一下为什么说是某一点的切空间：想象一下，你要把某一个点进行瞬时旋转，可以沿任意方向构造矩阵，而这个矩阵构成的集合，就是一个李代数。具体到这个矩阵，也有一个专业名词，叫做反对称矩阵）。

那引入李代数就有了反对称矩阵的概念引入，这个跟恒等式有什么关系呢？如果我们换成代数视角，把这个反对称矩阵的式子给他写出来，我们会发现是一个 3×3 的矩阵，并且中间都是 0，而且对称，也就是说只有 3 个有效量（这里其实可以延伸到物理里面的四维势 A，我后面看了一下，这两在数学层面上是同宗同源的，都属于反对称矩阵）。

这里还没到重点。重点是：由反对称矩阵为支点，其乘法换成了李括号运算，而当我们试着用李括号 [A,B] = AB−BA 去计算两个反对称矩阵的运算结果，我们会发现，其结果刚好等于其对应向量的叉积！（你说这是巧合我可不信）

延伸：向量恒等式的本质#

有趣的是，当我们从这个点出发，会发现后面有许多三维空间里的向量恒等式，比如雅可比恒等式和双叉乘公式，本质上都是这个矩阵李括号运算所必须满足的代数性质（当然此处我还只是记的一个结论，并没有去深究）。并且由于四维势 A 也是反对称矩阵，因此和这里也有很多联系，当然相关联系我自己也还没有去细细了解（我该怎么说是因为自己物理四维时空流形和纤维丛这块学的还不是很好）。

总结#

从矩阵为一个构造中心：结合抽象代数有了 SO(3) 旋转群，同时加上特有的双不变度量，使得空间拥有了一个完美的测量规则；由此，在有了具体空间和测量规则的前提下，我们就可以去研究具体某个点的切空间，也就是所谓的李代数。这个过程中我们会发现反对称矩阵的存在，由此切入往后就会发现和各种恒等式的联系（具体的我还没来得及细细了解，望见谅）。

总之，以上只是我个人自己数学学习过程中的一些思考，难免有不专业和不严谨的地方，如果有也恳请各位老师批评指正。后续我自己也会坚持学习相关内容，有老师有好的建议也欢迎指出，本人感激不尽！

原文发布于知乎（2026-05-08），收录于《桂电密码学本科生的数学学习笔记》系列，作者：亦梦。

桂电大一的密码学学习思考：关于后量子密码学里面的SIS问题

Mon, 27 Apr 2026 00:00:00 GMT

桂电大一的密码学学习思考：关于后量子密码学里面的SIS问题#

SIS（Short Integer Solution）——格密码里最基础的困难问题之一，这篇是我把它的底层结构捋清楚的过程。

我是一名桂电大一新生，25 高考的，目前就读于密码学专业，平时喜欢钻研数理知识，正好最近在研究 SIS 问题，想要分享一下自己的学习心得。

什么是 SIS#

SIS 全称 Short Integer Solution，本质上其实是一个数学问题（对相关内容感兴趣的请自行搜索，这里不做过多赘述）。但是由于是在后量子密码学的范畴里面，而且是以抽象代数、线性代数、数论等内容为基础，所以说有一定的上手难度，初学理解起来会比较困难，这也包括我。说实话我之前第一次接触 SIS 的时候其实也是很懵的，但是经过这段时间的学习，自己有了一些新的理解。

后量子密码与格#

后量子密码虽然听起来很高深，但是实际上也确实一点都不简单（小小整个活 hh）。说白了就是在以格的基础上进行的相关构造。

那什么是格呢？简单来说就是一组高维空间中的离散点集（好吧其实这个说法蛮抽象的，一点都不简单）。换个说法类比：学过线性代数的都知道，三维或者二维空间的任意一个位置是由坐标 (X, Y) 进行表示的，XY 都是实数。但是在格这里，XY 被换成了整数。可以这样简单理解，但是更准确地说：格是某组线性无关基向量的整数系数组合构成的点集，而不仅仅是整数格子点。

在这个基础上有了向量，坐标表示和线代是一样的，然后在这个的基础上就可以进行相关数学困难性问题的构造，并以这些问题为基础，有了 SIS 等一系列问题的产生和应用。

为什么是”困难”问题#

但是不知道各位有没有想过一个问题：既然底层和线代关系这么大，那为什么说是数学困难性问题？毕竟如果是大学里面纯线代的话，其实数学层面普通计算谈不上困难性。这就要牵扯到格的相关定义和具体的 SIS 问题了。

首先，SIS 问题是建立在格的基础之上的。看格的定义你会发现，形式上和普通线代是很类似的，最大的区别就是多了一个高维空间中的离散点集。这个区别有什么影响呢？其实这会带来一些和线代里面不同的东西：

第一个区别：Z-模 vs 实数域。 因为是离散点集，所以基础是建立在群上面的（这里不懂的自己可以先想想）。由于满足交换律，所以也隶属阿贝尔群。但是仔细想想会发现：线代里面都是实数域，是在域上面的计算；而这里是阿贝尔群，加上从定义推导出来也隶属整数环，所以是一个阿贝尔群 + 整数环的结构，也就是所谓的 Z-模——满足数乘，但是不满足除法（这里说的有点快，不懂得可以自己琢磨一下）。但是现代里面实数域就不一样，这是第一个区别。

第二个区别：mod 运算。 光有抽代层面的区别还不够，仔细看 SIS 问题会发现，这里面有一个 mod，这是啥嘞？了解过数论会知道这就是数论里面的一个运算符，也就是模幂运算，而且由于运算性质的特殊性，和传统加减乘除是不一样的（我是之前最开始接触 RSA 的时候了解到的这个，并不是 SIS 这里，所以提前有一点了解）。

这就导致了一个问题：很多传统运算方法和思路在这里是不成立或者说要发生改变的。举个简单的例子：基于整数的运算实际上就不是在整数域上面，而是在整数环；模 q 运算把无限大的整数空间映射到有限集合 {0,1,…,q-1}，因此方程 A·x ≡ 0 (mod q) 的解在整数上会周期性重复，解集是一个格，这是第二个主要区别。

SIS 问题的定义#

说了这么多，咱们重新来看一看 SIS。首先说明，SIS 问题是：

给定一个随机矩阵 A 和模数 q，寻找一个非零整数向量 x，使得 A·x ≡ 0 (mod q)，并且向量 x 的长度（欧几里得范数或无穷范数）不超过一个给定的界 β（此处欧几里得范数和无穷范数概念如若不懂请自行搜索）。

这是定义的问题本身。

求解思路：从坏基到好基#

这时候就有人想问了：你既然说这个 mod 是一个循环运算的结果，往上搜又发现方程的解是在一个具体的格基空间里面，这感觉不太理得清楚啊？别急，咱们一步一步来。

首先关于 mod：这个运算结构确实特殊这没错，但是并不意味着我们没有办法进行处理。事实上，方程 A·x = 0 (mod q) 在整数上等价于 A·x = kq 对某个整数 k 成立，因此解集可以看作一个格。你看，这就是一个典型的线代问题——通过相关线代知识我们可以用变量把这个 x 的解求出来。但是因为存在变量，所以 x 不是一个值，而是一个解空间，这就是格基空间的来历。我们要做的就是在这个空间里面寻找我们想要的符合要求的向量，由于已经是解空间了，所以找到的向量天生就满足原方程。

那具体要怎么寻找呢？这就是目前国际上研究的一个热门领域，我这里只说一个大致的主流思路：

x 的解求出来是有变量没错，也是一个解空间没错，但是解空间是有基向量的，而通过纯解原方程得到的基向量会很”斜”，导致我们不容易求解。
此时就要先通过相关计算方法把坏的格基变得好一点，也就是尽量正交（为什么说尽量？因为是在高维空间中的离散点集，按照传统线代求出来的严格正交的向量坐标可能不是整数），这一步的目的是方便我们构造初始的好的候选向量，方便后续还原回去。
然后在好基的基础上引入随机的向量，并进行筛选（这一步的目的是在候选向量中找到尽可能更好的向量）。
之后反过来代回原来的坐标系中，才可以求得对应向量。至于解出来的符不符合要求，就是另外一码事了。

总之，以上只是我个人关于 SIS 问题的一些理解，如果有细节出错或者不严谨的地方也欢迎各位老师指出。后续会有考虑继续学习相关知识出类似的文章，如果有老师有相关的好的建议也欢迎提出来，我将万分感激！

原文发布于知乎（2026-04-27），收录于《桂电密码学本科生的密码学学习笔记》系列，作者：亦梦。

桂电大一的数学学习思考：从泛函和四维时空流形的不同角度理解麦克斯韦方程组

Sun, 26 Apr 2026 00:00:00 GMT

桂电大一的数学学习思考：从泛函和四维时空流形的不同角度理解麦克斯韦方程组#

麦克斯韦方程组，除了教科书上的电场磁场视角，还有两条更底层的高阶路径：泛函分析的映射视角，和四维时空流形上的几何视角。

我自己现在是一名桂电大一新生，25 高考的，就读于密码学专业，平时闲时热爱学习基础数理，正好最近研究了一下麦克斯韦方程组，所以想来分享一下自己学习过程中的相关思考。

前言#

麦克斯韦方程组的形式肯定不用多说，但凡学过大学物理的都肯定知道，当然高中阶段老师也许会提及，在大学则是系统性进行学习。不过我今天并不想谈由麦克斯韦方程组是如何延伸到电场磁场性质以及相关关系的——这个知乎，包括 B 站上面有很多优质讲解可以看。我想说的是：在我系统性学习了电场磁场、回过头来重新看麦克斯韦方程组，我会发现很多我漏掉的东西，以及从不同的角度来看待这个，这也是今天文章的主题。

第一：泛函分析的视角#

其实我在学麦克斯韦方程组之前就已经自学过一部分的实变函数和泛函分析，但是初次接触时候其实并没有意识到这两玩意有什么联系。后面深入接触之后，我才知道：旋度散度梯度作为三大微分算子，把自变量线性映射到了右边的函数空间，这整个过程就是一个泛函过程，然后从这里出发可以延伸到后面的有无解的问题等等（当然这一部分内容我暂时还没有去深究）。

不过对于微分算子这个概念，要深入一下的话，我自己觉得其实旋度散度梯度这三作为微分算子，其实隶属外微分的范畴，并不是传统的微分（多插一句：我觉得这里很有意思，外微分和传统微分的区别在于前者的自变量已经是矢量，后者不是，这也间接影响到后面讲的四维势的相关内容）。所以这就是我从泛函分析的角度来理解方程的。当然并不是说其他分析不行，诸如调和分析也可以，不过本篇文字不多赘述，对相关内容感兴趣的欢迎参见我上一篇文章。

第二：四维时空流形的视角#

这也是我最近在深入学习抽象代数之后发现的高阶理解方法。说实话，本来按理来说，我作为一个大一的，四维势这样的内容我直接从电磁场是很难自学到的，因为严格来说理解维度不一样——从形式上来说，大概率也就到泛函分析我就可以停止了，事实上也基本是这样的。那我是怎么接触到四维势以及纤维丛这些概念的呢？答案还要从抽象代数说起（其实物理现象都是不变的，不过泛函分析是从纯方程的代数视角来看待，而四维势这种则是从时空的几何视角）。

首先抽象代数我是一直在学习的，毕竟是密码学底层基础，不过由于难度摆在那里导致其实我一直是学的很间断，有时间就学。那抽代和我今天要说的有什么关系呢？这就不得不提到我前段时间在微信看的一篇文章：空间解析几何恒等式本质来自 SO(3) 上的双不变度量（此处非广，而且实话实说由于文章内容过于高深，直到现在其实我还没看懂）。

虽然我看不懂，但是还是了解了一下大致内容：从这里首先接触到了李群李代数、正交群等等抽代的相关内容，这倒不重要，重要的是文章后面出现了联络、曲率等等内容。然后我就搜了一下，不搜不知道一搜吓一跳——这玩意和电磁场有关，而且关系还挺大。我后面仔细想了想：抽代、测度论出发可以到实变函数，实变基础上就是泛函分析，而麦克斯韦方程组形式上本质是泛函分析，所以其于情于理和抽代其实就是有关系的，但是其实平时很少有人深究，导致这块我感觉容易被人忽略。

于是就像这样，从联络、曲率出发，我接触了高维的四维时空流形，然后在自己已有的一点点现代场论的基础上，又接触了纤维丛、U(1) 规范对称性、外微分等等高阶内容，自己又花了一些时间尽量理解。虽然现在还没有完全消化，但是还是想要分享一下自己的学习收获和心得。

总结#

首先，四维空间相对于我们所处的三维空间，理论上就是多了一个线性的时间轴，而四维时空流形就是这个空间的背景（空间背景这个说法我觉得可以借助线代进行理解）。然后空间的基本变量也就是电磁场张量，类比三维矢量空间中的向量。而在四维时空流形中，电磁场不再用电场 E 和磁场 B 分别描述，而是统一为一个电磁场张量 F。这个 F 可以理解为四维势 A 的某种变化率（数学上叫外微分）。

而比较不同时空点的相位这件事，需要引入纤维丛和联络这两个工具。我目前对这里的理解还不够深入，只能先记住结论：

电磁波的传播，本质上是时空流形上纤维丛的曲率在波动。

至于 U(1) 规范对称性如何约束这个结构，我还在学习相关内容，暂时不能详细说明。

以上这一段由于还没有完全理解透彻，整体系统性不强，后续有机会深入学习之后会考虑再出一篇文章，进行细致讲解（这部分内容比较系统，所以暂时没有办法短时间完全理解透彻，望各位老师见谅）。

总之以上只是我作为一名大一新生的自我思考，要是有不严谨的地方也欢迎各位老师批评指正。后续会继续学习数理方向相关知识，同时计划在自己已有的代数学和分析学的基础上学习一些几何学的知识；如果有机会也会学习电子信息出一些交叉类的文章。如果各位老师有好的建议的也欢迎提出来，鄙人将不吝采纳！

原文发布于知乎（2026-04-26），收录于《桂电密码学本科生的数理交叉学习笔记》系列，作者：亦梦。

桂电大一的数理学习思考：关于泛函分析，调和分析与麦克斯韦方程组

Wed, 08 Apr 2026 00:00:00 GMT

桂电大一的数理学习思考：关于泛函分析，调和分析与麦克斯韦方程组#

麦克斯韦方程组、泛函分析、调和分析——这三个看似八竿子打不着的东西，是怎么被我串成一条逻辑链的？这篇就是答案。

我自己现在是一名桂电大一新生，25 高考的，就读于密码专业，平时对基础数学比较感兴趣，正好最近在学物理电磁学板块，结合自己已经接触过的基础数学，想要分享一下自己的心得体会。

泛函分析：我的理解#

这个板块理论上是很多高年级数专的本科生才会接触的内容，但是我自己在大一上研究过一段时间线代，后面接触到了线性泛函，于是自然而然的延伸到了泛函分析（对这块内容感兴趣的欢迎去看我之前的文章），了解了一些核心概念和应用领域。

自己的理解是：泛函分析是一门以实变函数（特别是勒贝格积分）和抽象代数等为基础的，研究高维空间中空间本身的性质和变换过程的学科。中间也有过很多次卡壳的地方，比如 Hilbert 空间和 Banach 空间的区别（现在知道了 Hilbert 空间是带有内积的完备空间，而后者只带范数）、抽代核心思想在这里的应用，以及泛函分析如何与其他板块相联系，比如流体力学和拓扑学等等。

当然我也清楚有些太超纲的东西我现在研究没有意义，于是有过很多次的适可而止——也不是我自己不想研究，归根到底是性价比很低，于是有些领域的知识目前推进的很缓慢。

调和分析：补分析学的必经之路#

这个板块其实我在大一上是没有接触的，只知道傅立叶级数、傅立叶变换等知识隶属调和分析，当时主要是在搞代数板块，特别是抽象代数、线性代数和泛函分析。

至于调和分析这个板块，我是在大一上自己线性代数成一定体系之后（说是一定，因为还有很多细节自己依旧是不懂的状态，比如谱理论，与李群、李代数的深层联系这种，后面有考虑去深究），并且接触大物，必须回来补分析学的知识，于是自己在已学的实变函数、传统黎曼积分、实分析、泛函分析基础上，又去了解了调和分析和复分析（这个板块目前还没有来得及去深入学习，后面学习后也会考虑出文章）。

但是当时其实自己还不知道麦克斯韦方程组和这块的联系，而且对于麦克斯韦方程组与其他板块的联系，自己也还是不怎么清楚。

麦克斯韦方程组：从四元数到电磁场垂直#

第一次初次知道这个概念是高中学电磁学，只看了一下公式，当时也看不懂，当然顺理成章的没有去深究 hh。第二次是在研究点乘叉乘的时候发现了四元数这个概念，通过四元数引入的点乘叉乘，后面在学物理的时候，对于麦克斯韦方程组里面电场磁场垂直的这个自然现象很疑惑（当时在想为什么这个公式组一定可以保证电磁场垂直），问 AI 也只给我说是实验得出来的自然现象，本来就成立。

但是我不信邪，还是不知道为什么通过一个自然现象就有了这一坨公式的产生。后面去查了查数学史，发现是由四元数推出来的，而四元数又天生包含叉乘的性质，自此逻辑形成了闭环。

三者关系：逻辑闭环#

那么说到这里，可能就有人要问了：啊那你说了这么多，也没有看出来这三个之间有什么关系啊？是的没错，我之前刚知道是四元数推出麦克斯韦方程组的时候也没有发现。

转机则是在网上和网友聊旋度散度的时候（我当时因为知道了方程组的由来，就去研究了一下公式本身什么意思，由此学了散度旋度梯度，当时也只是了解了一下概念，并没有想太多），然后对方说这块公式本质上是微分方程，表示一个映射过程。我当时转念一想，怎么这么熟悉——毕竟泛函分析研究的东西就包含映射。后面自己上网一查，果然发现了这俩的关系。

至于调和分析，则是在后面上物理课的时候，老师提到了麦克斯韦方程组和电磁学的关系。虽然没有提及调和分析，但是凭我当时的知识储备，我已经知道了电磁波的代数形式就是一个波动方程，隶属调和分析的方程，而电磁波则是在麦克斯韦方程组之上顺理成章的推导出来的，由此我便大致知道了这三者的关系。

总结#

首先，按照数学史：从四元数得到了点乘叉乘，进而得到了麦克斯韦方程组。而在方程组中，旋度散度作为线性微分算子，天然具有线性，作用在电磁场上，自然而然的产生了新的场，整体就是一个映射过程，也就是泛函过程。而以此为支点，后面就可以讨论有无解的问题，以及更深入的场论等等（但是严格来说麦克斯韦方程组本质就是在场论中研究的）。

而麦克斯韦方程组延伸出去得到了电磁波，电磁波本质上是波动方程，隶属调和分析的范畴，可以用代数视角描述空间中的几何变换。

所以，一句话来说就是：

泛函分析为麦克斯韦方程组提供了严格的函数空间，使得我们可以讨论解的存在性、稳定性、唯一性；调和分析则是在这个背景之下对其产生的电磁波本身进行的具体研究，也就是傅立叶分析。

总之，以上只是自己作为一个大一新生自己的一些个人思考与见解，难免有很多不严谨或者细节不到位的情况，在此欢迎各位老师提出相关指正！自己后面也会继续学习代数和分析相关的知识，或者往几何方向进行一些延伸，后面接触电子信息或者深入学习计算机之后，也会考虑出一些学科交叉的文章，在此也欢迎各位老师提出好的建议！自己将不吝采纳！

原文发布于知乎，收录于《桂电密码学本科生的数理交叉学习笔记》系列，作者：亦梦。

桂电大一的数学学习思考：关于矩阵，内积与线性泛函

Mon, 23 Mar 2026 00:00:00 GMT

桂电大一的数学学习思考：关于矩阵，内积与线性泛函#

为什么内积里会有那个莫名其妙的 cos？内积、矩阵、线性泛函到底什么关系？——这篇是我自己捋清楚的过程。

我自己目前是一名桂电大一新生，就读于密码专业，平时闲暇之余喜欢钻研数学。大一上学期期中时候开始系统性学了一遍线性代数，自己有了一些感悟，所以想要分享一下。

内积：那个莫名其妙的 cos#

首先说说内积吧。这个大多数人都知道，也叫数量积，和大多数人一样，我也是在初高中就有学过，但是对于这里面那个莫名其妙出现的 cos，其实是一直有疑惑的。之前初高中问老师，得到的答复是”就是书上的一个结论，记住就行了”，最多再给我补充一点大学要学的向量积吧（其实说实话这个我最先接触还是在之前高一暑假，去补课提前学高二课程时候接触的，也就是高中的几何板块，当时其实不知道这玩意叫做向量积），但是实话实说当时向量积里面的 sin 也是一样让我困惑的。

矩阵与线性泛函#

其次是矩阵和线性泛函。矩阵这个概念是我在大学上了线代之后才系统性接触到的（其实高中我搞数学竞赛有见过，也就是圆锥曲线中变换坐标系求解一些难题，但是当时我不知道这玩意的本质是矩阵）。问题是老师上课也只教计算过程，并没有教这玩意到底是个什么作用，于是我就只有在课下自己研究。在看 3B1B 的视频途中又顺便接触了线性泛函（对这部分感兴趣的可以去看看我的第一篇文章：从代数到几何，一条完整的逻辑链），往后自己又接触了一点点泛函分析和 Hilbert 空间，当然那就是另外一个故事了，相关内容参见上篇文章。

慢慢系统性过了一遍线性代数后，这时候差不多就是我的大一寒假了。寒假自己又系统性自学了抽象代数，深入学了一部分泛函分析，但是对于矩阵、内积、线性泛函这三个我心里一直很有疑问：一方面自己确实对这三个的关系捋不清楚，另一方面对应内积外积这两的 cos 和 sin 由来自己也很是好奇（尽管当时自己已经知道是引入内积才能在向量空间中引入角度和范数这个结论，但是对于内积到底怎么发现的仍然一头雾水）。

转机：四元数#

转机是自己实在是受不了了去 QQ 的数学群问网上的各位大佬（什么？你问我现在 AI 发展这么快为什么不用 AI？啊这个啊，要是某些情况下问 AI 有用我也不至于去 QQ 问了，问题是我问 AI 这个怎么来的也只会给我一堆所谓的代数证明，丝毫起不到一丁点作用，我也不知道是不是我提问方式不对，总之就是没有解决问题）。

在我问内积怎么来的之后，大佬成功给了我一个重要的数学概念——四元数。起初我只是搜了一下这玩意和内积的关系，并成功了解到这玩意和外积也有关系，并没有意识到这玩意在现代工程领域的巨大作用，至于我现在为什么知道那就是另外一个故事了，不过当时确实是不知道的。

然后，在了解了四元数之后，借助自己已有的线性代数和抽象代数的基础，我又开始思考这玩意和线性泛函、矩阵到底有什么关系。通过自己的总结提炼和在 QQ 群向其他人的相关提问，以下是我自己对这三者关系的理解，要是有细节不严谨或者有误，也欢迎各位大佬提出指正！

总结：三者关系#

首先，从历史来说，人们很早就意识到向量物理意义的存在，也知道垂直向量的存在，只是一直没有一个有效方法去进行表示。后来有了笛卡尔坐标系，人们开始利用几何解决代数问题，但是对于 X²+1=0 不好处理，于是人为引入虚数，有了复平面。然后人们发现通过虚数 i 可以表示空间中的旋转和缩放，但是仍然没有办法表示垂直，于是尝试升高维度进行处理，于是乎有了四元数的诞生——对这部分感兴趣的可以去看看数学史，我自己反正觉得蛮有趣的。

人们惊奇的发现通过四元数可以表示空间中的垂直向量，并且也自然而然引入了内积，来表示角度和范数，后来经过提炼，内积外积由此诞生。到这里就出现了线性代数的雏形，并且不断发展，有了矩阵得以变换空间；后面从有限维进入无限维空间后，人们又发现了线性泛函的存在，并发现从代数层面来讲，这个概念和内积在以抽象代数为层次的本质上是完全等价的——只是线性泛函是代数过程，而内积则是几何表示。

总结概括为：

线性泛函和内积本质上都是抽象代数中”线性”在代数和几何层面的不同体现，两者本质相同，但是互不影响，可以脱离对方独自存在。不过正因为本质相同，在向量空间中便可以利用内积的几何性来辅助理解线性泛函的整体变换过程；至于矩阵，则是通过引入内积自然有了空间的变换，加速了后期线性泛函和泛函分析的相关研究。

当然以上也只是自己作为一名普通大一牲，业余对数学的一些思考与感悟。虽然自己不是数学专业的，思考这些对于自己的应试也并没有什么帮助，但是对于我来说至少是一个兴趣和思维构建的过程。后期深入学习其他数理和计算机板块后会考虑出一些其他文章，有对相关内容感兴趣的欢迎大家在评论区进行留言。最后欢迎各位大佬对本文中的不足之处进行批评指正！也欢迎各位大佬提出建议，帮助本人进行后续改进！

原文发布于知乎（2026-03-23），收录于《桂电密码学本科生的数学学习笔记》系列，作者：亦梦。

桂电大一的数学学习分享：从实变函数到泛函分析

Sat, 14 Mar 2026 00:00:00 GMT

桂电大一的数学学习分享：从实变函数到泛函分析#

你是不是会好奇，我是怎么学到线性泛函这种本科数学专业大一都不一定会学的内容？

本人是一名大一新生，25 高考的，目前在桂电就读密码专业。自己大一入学到现在一直对数学很感兴趣，在课外学习数学相关知识。有了一些感悟，想要分享出来：一方面想与其他人交流交流，另一方面通过分享的方式辅助自己总结，深化自己对相关知识的理解。

我是怎么学到泛函分析的#

我在大一上了解到密码学专业的相关前沿方向的基础是线性代数，于是大一上先是课内学了线代课程，课外自己在大一中期时候专门去系统性学了线代（因为校内课程比较偏应试，课内难以理解线代内核与原理，有对此部分感兴趣的详见我的上篇文章）。然后自己在深究过程中免不了的接触了线性泛函——当时线代第一次接触这种抽象概念，加上我平时钻研数学也比较执着，当时对这一块内容很感兴趣，于是就顺着这条”线代 → 线性泛函”的逻辑链一步步深究下去，于是就接触到了这个大学数专高年级本科生才会接触的内容——泛函分析。

然后知道了泛函分析的核心是研究无限维空间上的线性算子，核心是 Lp 空间以及勒贝格积分（其实我觉得抛开泛函分析不谈，光是线性泛函这个概念和内积、矩阵这三者之间的联系就很微妙，也很有意思，后面有时间会考虑专门写一篇文章详细讲讲）。

我是怎么知道实变函数的#

关于实变函数，其实这个概念刚开始我是不知道的（毕竟在大一上期我是以线性代数为支点展开数学的拓展学习的，而线代往下是抽象代数，往上则是泛函分析，这条逻辑链跟实变函数有关但是不大）。那我是咋了解到这个的呢？起因是在某个 QQ 数学竞赛群和网友交流数学时候，偶然谈到了迪利克雷函数可积性。当时在我看来这个函数是不可积的，但是别人说这个函数在传统黎曼积分视角下确实不可积，但是在实变函数的范畴里面可积的时候，自己就被狠狠震惊到了（事实上关于可积性，我也觉得很有意思，可以和可测性、可微性啥的进行对比联系）。

于是就去网上查了查资料，了解到了实变函数的核心思想是换自变量——人话说就是换一个积分视角，把从 X 积分换成从 Y 积分，这样的话原函数在 Y 为自变量的前提下就变的可测了（这块内容我自己觉得很精彩）。

转机：实变和泛函到底啥关系#

看到这里可能会有不懂的人会问：你这个实变函数和泛函分析看起来也没啥关系啊？是的没错，当初我学完实变函数也是这么认为的，没看出来这两有啥关系（其实也只是了解了一下实变核心思想而已啦，我不是数专的不可能花时间去系统性学），然后这样的状态也是持续了蛮长的一段时间。

事情转机大概是上周周末。晚上在 QQ 和群内的网友交流泛函分析的时候，对方问我实变学的咋样，我说自己是先学的泛函，实变没咋学（事实上也确实没有系统学习），对方此时说不应该是先学实变再学泛函吗？此时我就很疑惑了，因为我确实是先接触的泛函分析，后面学的实变函数。于是此时我又开始在网上搜索两者相关知识，并尽量在自己能力范围之内梳理这两者关系。自己当时为了解决这个问题，顶着早八的压力还浅熬了一下 hhh，于是也就有了这篇文章的诞生（现在才写则是因为平时要上课 + 运动 + 学数学没啥时间）。

总结：一条逻辑链#

首先，在我看来，实变函数作为分析学的一个分支（拓展一下：在我看来分析学以实分析为基础，主要分为调和分析、复分析和泛函分析三大板块，并最终可以统一成微分方程），实变函数的核心是原函数不变，换了一个方向测量函数整体的可积性，以此达到可积的效果。而泛函分析的核心则是在高维空间下，将原空间里面的元素映射到另外一个空间。此处相当于就是：泛函分析用了实变函数中的勒贝格积分，在 Lp 空间已经有的内积基础上，使得将自己原来的函数空间里面的元素进行积分过程，完美地映射到了实数域中，这个过程也就是泛函。

具体来说，勒贝格积分让我们能构造出 Lp 这样的函数空间，而泛函分析就在这些空间上研究线性算子和对偶性（有意思的是加上完备性之后，整个空间就变成了著名的 Hilbert 空间）。所以实变函数和泛函分析的关系用一句话概括是：实变函数为泛函分析提供了函数空间与积分工具，泛函分析把这些东西抽象成为抽象的空间理论。

总之以上只是一部分个人数学学习过程中的思考。最近也在努力试着找到代数、几何、分析三大板块之间的关系，加速自己数学这一块知识体系的构建；后续深度学习大物、计算机甚至电信后会考虑出一些学科交叉类的文章。欢迎各位大佬给出相关指导！也欢迎各位大佬对本文中的不足之处进行指正！

对了，第一篇收录于一个桂电密码学本科生的数学学习笔记，第二篇也是一样。

原文发布于知乎，作者：亦梦。

大一的数学学习经历与思考：从代数到几何，一条完整的逻辑链

Sat, 07 Mar 2026 00:00:00 GMT

大一的数学学习经历与思考：从代数到几何，一条完整的逻辑链#

如果我告诉你，我从点乘一路摸到了泛函分析，你会不会觉得我在吹牛？但这确实是我大一上学期干的事。

本人是一名大一新生，25 高考的，现在在某双非就读，大一上课余时间一直在学习数学相关知识，想分享一下自己的学习经历。

起因是大一上的时候了解到自己专业相关的前沿方向线性代数是基础，加上自己原来高中时候几何学的还不错，就打算以线性代数为支点进行学习（后面事实证明线性代数没有我想的那么简单）。

刚开始是大一中期的时候，课内接触了矩阵和二次型等知识，但是一直没有讲几何应用，于是自己周末就去图书馆自己研究，先是把 B 站的线性代数速通课程看了一遍，确保周末挂科风险降低，然后就开始看 3B1B 的讲解视频。说实话看前面的内容觉得很简单，到后面涉及对偶性的时候发现自己越来越看不懂，特别是”点乘等于矩阵乘法”那里看了很多遍，当时也没明白。于是就把学习速度放慢了一点，然后一点一点研究，不懂的就问 AI（对于学习，我当时很喜欢这么干），自己就这么研究了一整个周末。

第一次出现卡壳是刚刚接触线性泛函的时候。看视频说两个向量进行点乘的结果和把其中一个当成矩阵相乘结果是等价的，虽然看了推导视频，自己当时还是很懵（后面事实证明这玩意跟抽代关系很大，因为线性泛函本质上就是向量空间到系数的线性映射，而保持加法和数乘正是抽象代数里同态的概念），不知道几何上面为什么成立，只记了一个结论。后面用 AI 查发现本质是线性泛函，顺着这条线一直深究下去，后面就到了希尔伯特空间、泛函分析、实数完备性等等内容，这时候我就意识到学的有点超纲，便及时止损了（有点遗憾当时没有及时进行复盘，一直在想关于线性泛函的问题）。

第二次出现卡壳是当我后面理解了矩阵、向量空间等等核心概念之间的联系的时候，回过头来看最简单的向量积和数量积，此时我就有点懵了：既然后面关于向量和空间的变换的内容是通过这两个引出来的，那这两个是怎么来的？此时我有点朦朦胧胧建立自己的线性代数知识体系了，但是对于代数和几何这一块理解还是不够透彻。

转机是 26 年过年之后。我联系我专业方向的相关导师，在微信简单寒暄了一番，给了我一些指导，让我先去学抽象代数（事实上我在大一上学线性代数就有接触，但是没有系统学习）。于是我寒假又花时间去系统性自学了群环域等相关数学底层知识，对数学底层结构有了一个大致认知，于是最近又回过头看自己原来学过的线性代数，以及牵扯到的线性泛函等等知识。自己昨天总结了一番，有了一些感悟，这才想要发出来：一方面想要在网上和其他人交流交流（毕竟学校是双非，同级里面研究这些的很少），一方面想要获得指导，明白我现在还有哪些知识方面的误区。

在我自己看来，抽代作为现代数学里面比较底层的学科之一，定义的是数学最基础的运算结构，后续的几何、代数、分析学都建立在群环域之上。随着时代发展，笛卡尔坐标系等出现，继而自然而然出现了向量，而事实上向量空间本质正是建立在域上面的。同时通过数量积和向量积的引入，在原本向量仅有的大小方向之上，第一次引入了角度和范数，有了长度和变换的概念，这才有了后续的矩阵对空间的变换等等一系列知识。在我看来，这是代数和几何第一次交互；到后面自然研究出对偶性、线性泛函等，把有限维的线性代数上升到了无穷维，也就自然出现了后续的泛函分析、希尔伯特空间等的产生。

总之以上只是一部分个人的思考过程。最近也在努力试着把自己目前已学的分析学纳进来，加速自己数学这一块知识体系的构建；后续深度学习大物、计算机甚至电信后会考虑出一些学科交叉类的文章。欢迎各位大佬给出相关指导！也欢迎各位大佬对本文中的不足之处进行指正！

原文发布于知乎（2026-03-07），作者：亦梦。