大一的数学学习经历与思考：从代数到几何，一条完整的逻辑链#

如果我告诉你，我从点乘一路摸到了泛函分析，你会不会觉得我在吹牛？但这确实是我大一上学期干的事。

本人是一名大一新生，25 高考的，现在在某双非就读，大一上课余时间一直在学习数学相关知识，想分享一下自己的学习经历。

起因是大一上的时候了解到自己专业相关的前沿方向线性代数是基础，加上自己原来高中时候几何学的还不错，就打算以线性代数为支点进行学习（后面事实证明线性代数没有我想的那么简单）。

刚开始是大一中期的时候，课内接触了矩阵和二次型等知识，但是一直没有讲几何应用，于是自己周末就去图书馆自己研究，先是把 B 站的线性代数速通课程看了一遍，确保周末挂科风险降低，然后就开始看 3B1B 的讲解视频。说实话看前面的内容觉得很简单，到后面涉及对偶性的时候发现自己越来越看不懂，特别是”点乘等于矩阵乘法”那里看了很多遍，当时也没明白。于是就把学习速度放慢了一点，然后一点一点研究，不懂的就问 AI（对于学习，我当时很喜欢这么干），自己就这么研究了一整个周末。

第一次出现卡壳是刚刚接触线性泛函的时候。看视频说两个向量进行点乘的结果和把其中一个当成矩阵相乘结果是等价的，虽然看了推导视频，自己当时还是很懵（后面事实证明这玩意跟抽代关系很大，因为线性泛函本质上就是向量空间到系数的线性映射，而保持加法和数乘正是抽象代数里同态的概念），不知道几何上面为什么成立，只记了一个结论。后面用 AI 查发现本质是线性泛函，顺着这条线一直深究下去，后面就到了希尔伯特空间、泛函分析、实数完备性等等内容，这时候我就意识到学的有点超纲，便及时止损了（有点遗憾当时没有及时进行复盘，一直在想关于线性泛函的问题）。

第二次出现卡壳是当我后面理解了矩阵、向量空间等等核心概念之间的联系的时候，回过头来看最简单的向量积和数量积，此时我就有点懵了：既然后面关于向量和空间的变换的内容是通过这两个引出来的，那这两个是怎么来的？此时我有点朦朦胧胧建立自己的线性代数知识体系了，但是对于代数和几何这一块理解还是不够透彻。

转机是 26 年过年之后。我联系我专业方向的相关导师，在微信简单寒暄了一番，给了我一些指导，让我先去学抽象代数（事实上我在大一上学线性代数就有接触，但是没有系统学习）。于是我寒假又花时间去系统性自学了群环域等相关数学底层知识，对数学底层结构有了一个大致认知，于是最近又回过头看自己原来学过的线性代数，以及牵扯到的线性泛函等等知识。自己昨天总结了一番，有了一些感悟，这才想要发出来：一方面想要在网上和其他人交流交流（毕竟学校是双非，同级里面研究这些的很少），一方面想要获得指导，明白我现在还有哪些知识方面的误区。

在我自己看来，抽代作为现代数学里面比较底层的学科之一，定义的是数学最基础的运算结构，后续的几何、代数、分析学都建立在群环域之上。随着时代发展，笛卡尔坐标系等出现，继而自然而然出现了向量，而事实上向量空间本质正是建立在域上面的。同时通过数量积和向量积的引入，在原本向量仅有的大小方向之上，第一次引入了角度和范数，有了长度和变换的概念，这才有了后续的矩阵对空间的变换等等一系列知识。在我看来，这是代数和几何第一次交互；到后面自然研究出对偶性、线性泛函等，把有限维的线性代数上升到了无穷维，也就自然出现了后续的泛函分析、希尔伯特空间等的产生。

总之以上只是一部分个人的思考过程。最近也在努力试着把自己目前已学的分析学纳进来，加速自己数学这一块知识体系的构建；后续深度学习大物、计算机甚至电信后会考虑出一些学科交叉类的文章。欢迎各位大佬给出相关指导！也欢迎各位大佬对本文中的不足之处进行指正！

原文发布于知乎（2026-03-07），作者：亦梦。